نگاره ای ازچند جمله ای درجه 36
اثر بهمن کلانتری

این کاوش های رایانه ای همچنین توانسته ان دیدی آشکار از روند ریاضیاتی که در پس زمینه جریان دارد را ، به صورت دیداری به ما ارائه کنند.همزمان تعدادی از هنرمندان خوش ذوق هم با بهره گیری از مزایای این روش ها که در به تصویر کشیدن ریاضیات به کار می رود،  به خلق آثار هنری دلفریب و طرح های دلپذیری  زده اند.

یکی از این تلاش ها  نرم افزاری است که اخیرا توسط  کارشناس علوم کامپیوتر آقای بهمن کلانتری از دانشگاه روتگرز(Rutgers ) واقع در نیوجرسی آمریکا ابداع شده این نرم افزار جریان پیدا کردن ریشه های یک چند جمله ای را به قلمرو طرح و هنر می آورد.

حتما می دانید یک چند جمله ای یا پلی نمیال عبارتی است جبری که از توان های مختلف متغیر ها ساخته می شود مانند ،x² + x – 6 یا  . x³ – 10x² + x + 3

یک روش برای به تصویر کشیدن این عبارات این است که نمودار این عبارت را رسم کنیم به طور مثال
 y = x² + x – 6 ، زمانی که حاصل معادله y برای مقادیر مختلف x محاسبه میشود جفت عددی که بدست می آید برای رسم در دستگاه مختصات دکارتی به کار می رود. که حاصل آن سهمی میشود که محور xها را در دو نقطه 2 و -3 قطع می کند.

ریاضیدانان روش هایی را برای پیدا کردن جواب بدون رسم نمودار و تعیین نقطه برخورد منحنی با محور xها ،ابداع کرده اند. در موارد بسیاری می توان با تکرار گام پایه ای که در این روش ها وجود دارد به تقریب نزدیک و نزدیک تری از این جواب ها رسید.

کلیسا اثر بهمن کلانتری

مشابه این مفهوم برای چند جمله ای های با اعداد مختلط قابل تعمیم است ، همانطور که می دانید اعداد مختلط مانند Z   که به صورت a+ib نوشته می شوند از دو جز a قسمت حقیقی  و bi که قسمت موهومی نامیده می شود ساخته می شوند.زمانی که i ریشه دوم عدد -1 را نشان میدهد . این اعداد  بصورت نقطه هایی بر روی صفحه مختلط قابل ترسیم هستند .زمانی که قسمت حقیقی را به عنوان مختص x و قسمت موهومی را به عنوان مختص y تلقی کنیم بعنوان مثال عدد 3+4i مختصات نقطه(?و?) را می دهد.

کلانتری جریان تخمین زدن ریشه های یک چند جمله ای مختلط را به روشی برای خلق طرح های جذاب بدل کرده .او به این کار چند جمله ای نگاری میگوید .او همچنین درباره کاری که انجام میدهد می گوید: "برای بدست آوردن این طرح ها نیازمند استفاده  از هزاران پیکسل روی مانیتور یک کامپیوتر هستیم "

یک چند جمله ای مانند z⁴ – 1 = 0 به تعداد بزرگترین توانی که z با آن ظاهر می شود ریشه دارد (درجه
چند جمله ای ) . مثلا در این مثال  چهار ریشه داریم .معادله z¹⁷ – z⁵ + 6 = 0 ، 17 ریشه خواهد داشت .

با به کار گیری رنگ و تقارن خلق آثاری بدیع از طرحهای تکرار شونده ممکن می شود.
اثر بهمن کلانتری

ایده اصلی در پشت روش های پیدا کردن ریشه ها حدس زدن نقطه ای برای شروع و استفاده از الگوریتم خاصی برای نقطه ای بهتر ، سپس تکرار این روش  با نقطه ی جدید به دست آمده است با این هدف که به ریشه چند جمله ای داده شده نزدیکتر شویم .

در هنگام استفاده از روش های پیدا کردن ریشه ، کسی که معادله را حل می کند انتظار دارد  نقطه شروع انتخابی وی ، او را سریعا به جواب برساند امری که همیشه میسر نمی شود.

این گرافیک کامپیوتری است که با به تصویر کشیدن ماجرا ما را از روند کار مطلع می کند. برای  معادله داده شده کامپیوتر به قصد یافتن جواب روشی مشخص را  برای شمار زیاد از مقادیر Z به کار می گیرد . برای هر کدام از مقادیر اولیه ، کامپیوتر با تعیین کردن مقادیر تخمینی  به سمت ریشه ای که آن مقدار(مقدار اولیه) به سمت آن تمایل دارد حرکت می کند و همزمان رنگ خاصی هم به آن نقطه اختصاص میدهد ، رنگ هر ریشه از ریشه دیگر متفاوت است . مقدار پر رنگی آن نقطه مشخص می کند که با چه سرعتی به سمت ریشه نزدیک  می شود.

حاصل کار پرده ای تابناک است ک اغلب دارای حوضچه های رنگ است. این حوزه های جاذب ( همانطور که کلا نتری آهنها را نامیده است) مکانهای امنی هستند . به این معنی که اگر هر کدام از نقاط شروع از این نواحی انتخاب شوند با تعداد معقول تکرار روش حل معادله، به نزدیکی ریشه ای می رسیم که با یک رنگ خاص مشخصشده .به عنوان مثال معادله:
z⁴ – 1 = 0 چهار حوزه دارد .

وجود یا عدم وجود (ریشه) در نزدیکی مرز های این حوضچه ها به طور قابل توجهی پیچیده تر می شود بسیار پیچیده تر از یک خط  جدا ساز ساده ، مرز ها معمولا از چرخش های با جزئیات زیاد و گرداب هایی تشکیل می شوند که ممکن است هر لحظه روش تخمین ریشه را به یکی از چهار ریشه z⁴ – 1 = 0 متمایل کنند.در این باز های در هم تنیده کوچکترین جا به جای در انتخاب نقطه شروع می تواند به سر نوشتی کاملا متفاوت منجر شود.

بسیاری از اثر های کلانتری رنگارنگ و خیال انگیز هستند به طوری که در " مهمانی بر روی پل برکلی " هم دیده  می شود

کلانتری این تکنیک های بصری ریشه یابی را برای خلق آثاری  درخشان ،رنگارنگ ، دلپذیر و زیبا تعمیم داده و هماهنگ کرده ، این تکنیک ها به طور مشخص در کاوش هایش راجع به قلمرو ناشناخته ی چند جمله ای هایی با درجات بالاتر از  10 یا 20به کار گرفته شده.او در این کار از خانواده تابع ها ی تکرار شونده استفاده کرده (تابع های که خودش آنها را خانواده بنیادی می نامد).

نرم افزار کلانتری به شما اجازه می دهد تا یک چند جمله ای را مشخص کنید سپس روش پیدا کردن جواب و بعد رنگ و مقیاس مورد نظرتان را انتخاب کنید.

نگار گران  این چند جمله ای ها می توانند طرح های متنوعی ایجاد کنند . خود کلانتری می گوید " این امر از به کار گیری بینهایت تابع تکرار کننده متنوع  به داخل گونه های متنوع چند جمله ای ها امکان پذیر می شود.تنها چیزی که باقی می ماند انتخاب ناحیه مناسب از تصویر ، رنگ بندی و مقیاس مناسب برای رسیدن به یک منظره دلپذیر است.

"کار کردن با این نرم افزار مانند کار کردن با یک دوربین  فیلم برداری یا یک آلت موسیقی است " این حرف را کلانتری میگوید و تاکید می کند که : " در جریان کار با این نرم افزار یک نفر می تواند خلق آثار ی بدیع و الگو های پیچیده را بیاموزد . این طرح ها در بهترین حالت قابل مقایسه با طرحهای ماهرانه بشری است "

وبسایت کلانتری  وقف به تصویر کشیدن چند جمله ها شده و از آدرس زیر قابل دسترسی است.جایی که شما می توانید طرح های خودتان رو خلق کنید:

http://www.polynomiography.com

نسخه  PDF  پیش از چاپ مقاله او با عنوان " ارتباطی تازه بین ریاضیات و هنر " از آدرس زیر قابل دسترسی است:

http://www.polynomiography.com/images/artmath.pdf

پیوندبه متن اصلی:

http://www.maa.org/mathland/mathtrek_04_21_03.html

 -----------------------------

برگرفته از وبلاگ ریاضیات کاربردی نوشته روزبه ابزاری