فراکتال‌ها مفاهبم هندسي هستند که در چند سال اخير و به خصوص پس از کارهاي بنديت مندلبورت، رياضيدان لهستاني بر روي آنها، بسيار مورد توجه دانشمندان علوم قرار گرفته است.

مفاهيمي که خواص آنها به اندازه‌شان بستگي ندارد، در فيزيک، شيمي، زيست‌شناسي، زمين‌شناسي و پزشکي بسيار ديده شده‌اند و از خواص آنها مي‌توان براي درک بهتر پديده‌هاي مورد نظر استفاده کرد. تاکنون تعريف دقيقي از ماهيت فراکتال‌ها نشده است اما از يک ديدگاه کلي مي‌توان گفت که فراکتال موجودي هندسي است که قوانين کلي حاکم بر آن وابسته به مقياسي که در آن کار مي‌کنيم نيست. يعني جزئيات آن شبيه کل هستند. فراکتال‌ها جزئيات نامحدودي دارند که داراي ساختاري خودمتشابه در مقادير مختلف بزرگنمايي، هستند. در اکثر موارد يک قانون و قاعده خاصي به ميزان نامحدودي تکرار مي‌شود تا يک طرح فراکتالي پديد آيد. واژه فراکتال در سال 1975 توسط «بنديت مندلبورت» پدر فراکتال ابداع شد. ريشه اين لغت عبارت لاتين Fractus به معني «شکسته» است. پيش از اينکه مندلبورت اين واژه را ابداع کند، براي چنين اشکالي، از واژه «منحني‌هاي هيولايي» استفاده مي‌شد. فراکتال‌ها را عموماً موجوداتي رياضي مي‌پندارند و اين به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسي» است اما نشان داده شده است که بسياري از وضعيت‌هاي که هندسه کلاسيک (اقليدسي) از توضيح آنها عاجز است، توسط فراکتال‌ها، به راحتي بيان مي‌شود. به همين دليل فراکتال‌ها کاربردهاي بسياري در علوم پيدا کرده‌اند، از فيزيک و شيمي و هواشناسي گرفته تا بيولوژي ملکولي و پزشکي، از قوانين حاکم بر فراکتال‌ها استفاده مي‌شود.

فراکتال‌هاي هندسي

ساده‌ترين نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره‌خطي به طول يک واحد در نظر بگيريد و طول آن را به سه قسمت تقسيم کرده و قسمت وسطي را حذف کنيد. حالا دو خز داريم که طول هريک از آنها يک‌سوم طول اوليه است. همين عمل را با هر کدام از اين پاره‌خط‌ها انجام مي‌دهيم. يعني طول هرکدام را ثلث مي‌کنيم و قسمت وسطي را حذف مي‌کنيم. مي‌توان با کامپيوتر برنامه‌اي نوشت که اين عمليات را چندين بار پياپي انجام دهد. اگر اين عمل را بي‌شمار بار انجام دهيم (کاري که از عهده کامپيوتر خارج است) شکلي به دست مي‌آيد که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنيم، ساختاري مي‌بينيم که تا بي‌نهايت ادامه دارد. اگر به سمت راست يا چپ خط دوم شکل نگاه کنيم ساختاري مي‌بينيم که بازهم تا بي‌نهايت ادامه يافته و در عين حال، کاملاً شبيه شکل کلي است. چنين ساختارهايي که هر جزء آن با کل مجموعه يکي است و فقط در مقياس (Scalc) تفاوت دارند را ساختارهاي خودمتشابه Self-similar مي‌گويند.

يکي از مشهورترين فراکتالها توسط «هلک‌فون‌کخ» در سال 1904 طراحي شد. در اين نوع فراکتال، ابتدا يک پاره‌خط به طول يک واحد در نظر مي‌گيريم و آن را به سه قسمت تقسيم مي‌کنيم. سپس به جاي ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوي‌الاضلاع را قرار مي‌دهيم و اين کار را همين‌طور ادامه مي‌دهيم. فراکتال کخ نيز يک نوع فراکتال خودمتشابه است. اگر اين عمل را روي اضلاع يک متساوي‌الاضلاع انجام دهيم، شکل بسيار زيبايي پديد مي‌آيد که «دانه‌برفي‌کخ» نام دارد. فراکتال سرپينسکي يک فراکتال هندسي است. اگر مثلث وسطي يک مثلث متساوي‌الاضلاع را حذف کنيم و براي همه مثلث‌هاي باقي‌مانده هم اين عمل را تا بي‌نهايت انجام دهيم، مجموعه زيبايي از مثلث‌هاي پر و خالي به وجود مي‌آيد که فراکتال سرپينسکي به دست خواهد آمد. در همه انواع فراکتال‌هاي خودمتشابه براي تبديل هر جزء به کل يا اجزاي کوچکتر، بايد همه ابعاد به يک مقياس بزرگ شوند. اما نوع ديگر فراکتال را خودالحاقي Self-Affine مي‌گويند. در اين نوع فراکتال‌‌ها براي تبديل شدن به مقياس بزرگتر بايد شکل در هر راستا به ضرايب مختلفي بزرگ‌نمايي شود. (DNA Walk) DNA مي‌گويند.

در طبيعت مثل ريشه‌هاي گياهان يا شاخه‌هاي درخت‌ها، ساختارهاي خوشه‌ها و کهکشان‌هاي کيهان، رشد يک سطح، سوختگي‌هاي روي کاغذ، شکستگي‌هاي DVDها و ساختارهاي زمين‌شناسي به خصوص اشکال زيبايي که در غارها مشاهده مي‌شود، خواص فراکتالي خودالحاقي دارند. يکي از زيباترين نمونه‌هاي فراکتالي گل‌کلم است.