يکي از وسيعترين ايده هاي رياضيات جديد تجريد است. دو طرز تفکر متفاوت درباره اعمال و قوانين وجود دارد:

۱) قوانين را مي توانيم به عنوان گزاره هاي درست راجع به اعمال ويژه اي روي اشيا خاص در نظر بگيريم.

۲) قوانين را مي توانيم به عنوان قواعد يک بازي در نظر بگيريم بدون توجه به ماهيت اشيايي که روي آنها عمل انجام مي گيرد. در اين مورد هدف دست يافتن به قوانين جديد به کمک قوانين مفروض با روش هاي کاملا منطقي ست.

به عنوان مثال چنانچه منظور ما به طور مشخص مطالعه جبر اعداد حقيقي يا جبر ماتريهاي حقيقي ۲*۲ باشد روش ۱ را تعقيب مي کنيم. از طرف ديگر چنانچه صرفا مطالعه نتايج منطقي قوانين جبر استانده مورد نطر باشد روش ۲ را دنبال مي کنيم. اينکه در حقيقت اين دو روش با هم متفاوت ان بسادگي مي تواند با عبارت "معادله x2=2 داراي جواب است" توصيف شود. اين عبارت در جبر اعداد حقيقي درست ولي در جبر اعداد گويا نادرست است.چون قوانين جبر استانده در جبر اعداد گويا معتبرند نتيجه مي شود که وجود جواب براي x2=2 نتيجه اي منطقي از اين قوانين نيست. بنابراين گزاره هاي درستي درباره اعداد حقيقي موجودند که در جبر استانده قضيه نيستند.
جبر مجرد عبارت است از مطالعه اعمال و قوانين به وسيله روش 2 و مثال خوبي است از روش اصل موضوعي که مشخصه بارز رياضيات قرن بيستم مي باشد. در روش اصل موضوعي عبارات معيني را در مورد اشيا نامشخص فرض مي کنيم و نتايج منطقي آنها را مورد بررسي قرار مي دهيم. در حالت مورد نظر ما اشيا نامشخص عبارتند از اعمال و چيزهايي که عمل روي آنها انجام مي گيرد و اصول موضوعه قوانيني هستند که مورد مطالعه ما مي باشند.
اولين مزيت جبر مجرد عموميت ان است. يعني هر عبارتي که بتواند از يک مجموعه قوانين مفروض نتيجه شود در هر مبحث جبري ديگري که اين قوانين در آن صادق اند نيز برقرار خواهد بود. اين امر باعث اختصار زيادي در برهان مي شود به طوريکه در بسياري از زمينه ها براي اثبات قضاياي مشابه يک اثبات به کار مي رود. مزيت ديگري که عموميت را تقويت مي کند انعطاف پذيري ست. شخص آزاد است که يک مجموعه از قوانين را انتخاب و تحت ملاحظه خاص در آورد و قوانيني را که نامناسب به نظر مي رسند به کنار زند. سومين و مهمترين مزيت وضوح است. پديده "ديده نشدن جنگل به علت ديدن درختها" به خصوص در رياضيات حتي در بين متخصصان خيلي معمول است. تاريخ رياضيات بدفعات شاهد اين بوده است که يک قضيه مشکل و مبهم در بخش خاصي از اين علم بعدها به صورت حالت ويژه اي از يک اصل کلي با سادگي اعجاب آور و کاربرد فراوان ظاهر شده است. نکته اين است که يک فرد با انباشته اي از دانستنيها درباره موضوعات مخصوص رياضي رشد مي کند و هنگاميکه با مساله اي مواجه مي شود تمايل دارد اولين مطلب رياضي را که به فکرش خطور مي کند و در مورد مساله به نظرش مي رسد به کار گيرد. در صورتيکه غالبا فقط هنگاميکه بدون در نظر گرفتن برخي از اين حقايق رياضي اقدام به اثبات کند به استدلال ساده تري که بر اصول اساسيتري متکي ست دسترسي پيدا مي کند. روش اصل موضوعي به وسيله حذف فرضيات  زائد و مبنا قرار دادن حداقل اطلاعات به ايضاح ارتباطات منطقي بين مطالب رياضي کمک مي کند که با ساير روشها ممکن نيست. براي آنهايي که در مورد ارزش پرداختن به جبر مجرد نياز به متقاعد شدن دارند يا تصور مي نمايند که جبر مجرد ممکن است بغايت مشکل باشد بايستي تذکر داده شود که اين روش را احتمالا در طول سالها به طور ضمني مورد استفاده قرار داده اند. آيا آنها هنگاميکه در جبر مقدماتي مشغول محاسبه دستورات و معادلات بوده اند در هر مرحله به ياد داشته اند که علائم در نقش اعداد حقيقي اند و اين امر را در انديشه راجع به انجام مرحله بعدي به کار مي گرفته اند؟ يا اينکه محاسبات به طور مکانيکي و بدون توجه به معني حروف و فقط با به کارگيري دستورات معيني که به صورت طبيعت ثانويه شخص در آمده بود انجام مي شده است؟ اين امر که بعضي از آنها قواعد غلط را به کار مي برده اند صرفا گواه آن است که در واقع در جبر مجرد کار مي کرده اند.
منظور از علامت * همان " ضرب "  است .