هرگز نمی توان همه چیز را ثابت کرد
یکی از نکات مهمی که پایه های پیشرفت علــــــــوم مختلف را شامل می شود اصول اولیه و فرضیاتی است که بر اساس آن نظریه ها ارائه می شوند. اقلیدس و تنی چند از پیشینیان او که در فلسفه فعال بودند به این نتیجه رسیده بودند که هرگز نمی توان همه چیز را ثابت کرد.آنها معتقد بودند که در ساخت هر نهاد منطقی بایـد یک یا چند گزاره را بعنوان فرض در نظر گرفت و سایر احکام را بر اساس آنها اثبات کــــــــــرد. آنها تجربه کرده بودند که اگر سعی کنند تمام گزاره ها را به اثبات برسانند بدون شـــــــک به یک دور باطل خواهند رسید.
فرضیات تجربی و ریاضی                                                                     

فرضیات معمولآ از طریق مشاهده  و احساس عمومی انســـــــان به عنوان یک مطلب درست و منطقی به شمار می آینـــد و دانشمند بر اساس فرضیاتی که ارائه می کند می تواند قضایایی را ارائه، اثبات کند و بر اساس این دو علمی را پایه ریزی نماید.

تفاوت مهم میان علوم تجربی و علوم ریــــــــــاضی در آن است که اثبات قضایا در علوم تجربی از راه تجربه و مشاهده بوده در حالــــی که در علوم ریاضی از طریق استدلال و محاسبه می باشد.
بعنوان مثال یک زیست شناس پس  ازآنکه توانــــست قسمت های مختلف یک گیاه را شناسایی کند از راه آزمایش و تجربه به کشف وظـــــــــایف هر قسمت می پردازد. در حالی که یک ریاضی دای دان حتی اگر موضوعی با مشــــــــــاهده برای او یقین شود مجبور است که آنرا با استدلال ثابت کند. یعنی صرف مشاهـده برای به یقین رسیدن کافی نیست یک ریاضی دان هرگز نمی تواند بگوید که : “بنا برایــــــن همانطور که می بینید، دیده می شود که این زاویه قائمه می باشد.

اصل
استدلال منطقی در وهله اول نیاز به همان فرضیات اولیه یا اصـول دارد. یک اصل بنا به تعریف عبارت است از حکمی که نتوان برای صحت آن دلیل یا اثبــــاتی ارائه کرد. یعنی اصول به این دلیل صحیح هستند که اصلا” مخالف آنرا عقل نمی پذیـرد و آنها کاملا” با واقعیات و تجربیات دنیای ما منطبق می باشند. بعنوان مثال می گوییــــــــــم دو مقدار مساوی با مقدار سوم، خود با هم مساوی هستند و یا در هندسه می گوییـــــم : “به هر مرکز می توان دایره ای به شعاع دلخواه رسم کرد”. همانطور که مشـــــاهده می شود صحت این دود گزاره بوضوح توسط عقل تایید می شوند.

قضیه
قضیه حکمی است که با استدلال می توان از اصـــــــــول پذیرفته شده از قـــبل به آن رسید.  

به عــنوان مثال اینکه می گوییم : “اگر رقم سمت راست عددی زوج باشد آن عدد زوج است” مطــــــلبی نیست که بتوان آنرا پذیرفت بلکه باید بر اساس اصولی که در تئوری اعداد وجود دارد آنرا ثابت کرد.

همانطور که مـی دانید هر قضیه دو قسمت دارد یکی فرض و یکی حکم. دقت کنید که فرض با اصول اولــــــــــــیه حاکم بر علمی که در آن قضیه مطرح می شود متفاوت می باشد.  

مثلا هنگامی که می گویــــــــیم : “مجموع دو زاویه مجانب معادل دو قائمه می باشد” فرض آن است که دو زاویه مجـــــانب می باشد و حکم آن است که ثابت کنیم مجموع آنها دو قائمه می باشد.