از آن زمان که انسان اندیشیدن را آغاز کرد، همواره کلمات و عباراتى را بر زبان جارى ساخته که مرزهاى روشنى نداشته اند. کلماتى نظیر «خوب»، «بد»، «جوان»، «پیر»، «بلند»، «کوتاه»، «قوى»، «ضعیف»، «گرم»، «سرد»، «خوشحال»، «باهوش»، «زیبا» و قیودى از قبیل «معمولاً»، «غالباً»، «تقریباً» و «به ندرت». روشن است که نمى توان براى این کلمات رمز مشخصى یافت، براى مثال در گزاره «على باهوش است» یا «گل رز زیباست» نمى توان مرز مشخصى براى «باهوش بودن» و «زیبا بودن» در نظر گرفت. اما در بسیارى از علوم نظیر ریاضیات و منطق، فرض بر این است که مرزها و محدوده هاى دقیقاً تعریف شده اى وجود دارد و یک موضوع خاص یا در محدوده آن مرز مى گنجد یا نمى گنجد. مواردى چون همه یا هیچ، فانى یا غیرفانى، زنده یا مرده، مرد یا زن، سفید یا سیاه، صفر یا یک، یا «این» یا «نقیض این» . در این علوم هر گزاره اى یا درست است یا نادرست، پدیده هاى واقعى یا «سفید» هستند یا «سیاه».
این باور به سیاه و سفیدها، صفر و یک ها و این نظام دو ارزشى به گذشته بازمى گردد و حداقل به یونان قدیم و ارسطو مى رسد. البته قبل از ارسطو نوعى ذهنیت فلسفى وجود داشت که به ایمان دودویى با شک و تردید مى نگریست. بودا در هند، پنج قرن قبل از مسیح و تقریباً دو قرن قبل از ارسطو زندگى مى کرد. اولین قدم در سیستم اعتقادى او گریز از جهان سیاه و سفید و برداشتن این حجاب دوارزشى بود. نگریستن به جهان به صورتى که هست. از دید بودا جهان را باید سراسر تناقض دید، جهانى که چیزها و ناچیزها در آن وجود دارد. در آن گل هاى رز هم سرخ هستند و هم غیرسرخ. در منطق بودا هم A داریم هم نقیض A. در منطق ارسطو یا A داریم یا نقیض A منطق (A یا نقیض A) در مقابل منطق (A و نقیض A). منطق این یا آن ارسطو در مقابل منطق تضاد بودا.
ادامه مطلب...

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در شنبه 86/1/25 و ساعت 1:0 عصر | نظرات دیگران()

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است.

دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند.
جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است.
جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است.
دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم میشودبنحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد)
جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود.
این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود.
عدد 1729 اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت :
به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.) حال اگر کمی مانند ریاضیدانها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است .

امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا با Taxicab نمایش می دهند.جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n ناکوچکتر از 1 ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد !

هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاکسی تاکنون نا کام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاکسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد . مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح کنید: کوچکترین عددی که به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،کدام است؟ این عدد توسط اویلر یافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد. برای اطلاعات بیشتر در مورد اعداد تاکسی به این منزلگاه رجوع کنید.

این مطلب در تاریخ 30/1/86 به عنوان مطلب برگزیده پارسی بلاگ انتخاب شده است.

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در شنبه 86/1/25 و ساعت 1:0 عصر | نظرات دیگران()

ایمانوئل کانت
علم ریاضی درخشان ترین مثال برای این واقعیت است که چگونه استدلال محض دامنه تاثیر گذاریش را بدون کمک تجربه گسترش می دهد.

 
 خیام
ریاضیات، به پیشگامی سزاوارتر است .

 
پیر فرما
و شاید آیندگان از اینکه نشان داده ام قدیمی ها همه چیز را نمی دانستند ، سپاسگزار من باشند.

جان لاک
اثبات ریاضی مانند الماس قاطع و شفاف است، و با چیزی جز استدلال دقیق نمی توان به آن رسید.

این مطلب در تاریخ 26/1/86 به عنوان مطلب برگزیده پارسی بلاگ انتخاب شده است.

ادامه مطلب...

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در چهارشنبه 86/1/22 و ساعت 12:0 صبح | نظرات دیگران()

یکی از وسیعترین ایده های ریاضیات جدید تجرید است. دو طرز تفکر متفاوت درباره اعمال و قوانین وجود دارد:

۱) قوانین را می توانیم به عنوان گزاره های درست راجع به اعمال ویژه ای روی اشیا خاص در نظر بگیریم.

۲) قوانین را می توانیم به عنوان قواعد یک بازی در نظر بگیریم بدون توجه به ماهیت اشیایی که روی آنها عمل انجام می گیرد. در این مورد هدف دست یافتن به قوانین جدید به کمک قوانین مفروض با روش های کاملا منطقی ست.

به عنوان مثال چنانچه منظور ما به طور مشخص مطالعه جبر اعداد حقیقی یا جبر ماتریهای حقیقی ۲*۲ باشد روش ۱ را تعقیب می کنیم. از طرف دیگر چنانچه صرفا مطالعه نتایج منطقی قوانین جبر استانده مورد نطر باشد روش ۲ را دنبال می کنیم. اینکه در حقیقت این دو روش با هم متفاوت ان بسادگی می تواند با عبارت "معادله x2=2 دارای جواب است" توصیف شود. این عبارت در جبر اعداد حقیقی درست ولی در جبر اعداد گویا نادرست است.چون قوانین جبر استانده در جبر اعداد گویا معتبرند نتیجه می شود که وجود جواب برای x2=2 نتیجه ای منطقی از این قوانین نیست. بنابراین گزاره های درستی درباره اعداد حقیقی موجودند که در جبر استانده قضیه نیستند.
ادامه مطلب...

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در شنبه 86/1/18 و ساعت 4:54 عصر | نظرات دیگران()

حدس گلدباخ در ریاضیات یکی از قدیمی‌ترین مسائل حل نشده نظریه اعداد است. این حدس می‌گوید:

هرعدد زوج بزرگتر از 2 را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.

این مسئله در حدود 260 سال پیش توسط یک پزشک آلمانی علاقه مند به اثبات قضیه های ریاضی مطرح شد. شهود این پزشک متوجه حقیقت جالبی شده بود و آن هم این بود که هر عدد زوج را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. گلدباخ هم عصر با اویلر بود. پس از تلاش فراوان و نا امید شدن از اثبات این حدس، گلدباخ از اویلر خواست تا مسئله را برایش حل کند. اویلر یکی از برجسته ترین شخصیت های ریاضی آن زمان بود. نه اویلر و نه هیچیک از شاگردانش نتوانستند این مسئله را حل کنند. تا اینکه حدود 6 سال پیش یک موسسه انتشاراتی در انگلستان به نام "تونی سیبر" برای کسی که بتواند این مسئله را حل کند مبلغ یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد. این مسئله در عین سادگی صورت آن، هنوز حل نشده تا بتواند به عنوان قضیه مطرح شود. این حدس توسط کامپیوترهای پیشرفته برای اعداد زوج بسیار بسیار بزرگی تست شده و جالب اینست که تا کنون هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشده است. گاهی اوقات فاصله شهود انسان تا لحظه اثبات یک مسئله آنقدر زیاد می شود که نسلها می آیند و می روند ولی همچنان حقیقت درباره مسئله‏ای مانند حدس گلدباخ نامشخص می ماند. شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد.زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد.اما این مانع از آن نخواهد شد که کسی اجازه فکر کردن در مورد این حدس را به خودش ندهد.

پس در مورد این حدس کمی فکر کنید!

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در پنج شنبه 85/12/10 و ساعت 4:45 عصر | نظرات دیگران()

مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.

البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.

اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).

حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ،  معیاری از توژولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) و توپولوژی ناهمسان و توپولوژی کم بعدی.

 

کلمات کلیدی : ریاضی

نوشته شده توسط انجمن علمی ریاضیات کاربردی در چهارشنبه 85/12/9 و ساعت 5:39 عصر | نظرات دیگران()